UPDS E.D.

 UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO 

NOMBRE: Aparicio Padilla Sally

MATERIA: Estructuras Discretas 

CARRERA: ING. Redes y Telecomunicaciones

EMAIL: apariciopadillasally@gmail.com

MAYO 2022

INTRODUCCIÓN

En este blog vamos a estar viendo 4 temas fundamentales que son: Lógica, Conjunto, Relaciones y Funciones para aprender a aplicar cada una de estas unidades y entender como funciona cada una de ellas, las encontraras del mismo orden como se menciono antes así como definiciones entendibles y ejemplos que son fáciles de comprender y por ultimo estaremos aplicando el método deductivo y el método explicativo para estas unidades.

CAPITULO 1: LÓGICA

La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos y formas de| razonamiento humano. Ofrece reglas y técnicas para determinar si un argumento es válido o no. Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje ordinario. introduciendo símbolos y conectivos lógicos en la construcción de proposiciones.

PROPOCIONES

Se denomina "proporciones" a los enunciados o oraciones declarativos que pueden ser Falsos o Verdaderos pero no ambos a la vez, Ejemplos:

1. El clima esta nublado              

2. -4 es un numero natural           

3. La lógica es una ciencia formal

4. 7 es un numero primo              

5. Sólo sé que nada se                 

 

Como podemos ver los enunciados 1 y 5 no son proposiciones porque no se puede decir si son falsos o verdaderos pero los demás enunciados si lo son porque podemos decir que el enunciado 2 es F (falso) y los enunciados 3 y 4 son V (verdaderas).

NOTACIONES Y CONECTIVOS LÓGICOS 

A las proposiciones simples o genéricas (llamadas también atómicas) se acostumbran denotar con las letras minúsculas p, g, r,...., 

Ejemplo:

p : "21 es divisible por 7 "

q: " 5 < -5 "

r: " 7 ≠ 8 "

s: "-5 > 3 "

A partir de proposiciones simples se pueden generar otras proposiciones simples o compuestas utilizando ciertas constantes proposicionales llamados conectivos lógicos, tales como:

Negación                           "No"                   ˜

Conjunción                        "y"                     ∧

Disyunción                        "O"                     ∨

Implicación                       "Si...entonces"    →

Doble Implicación            "Si...y solo si"     ↔

Disyunción Exclusiva      "O excluyente"     ⊻

OPERACIONES PROPOSICIONALES 

Dada una cl dos proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, las operaciones entre proposiciones tratan de generar otras proposiciones y caracterizar la proposición resultante a trarvés de su valor de verdad.

NEGACIÓN

La negación de la proposición "p" es la proposición "no p" que se escribe -p, cuya tabla de valores de verdad es:

Ejemplo: 

 La negación de la proposición

p: " todo estudiante es educado"

-p: " no todo estudiante es educado"

CONJUNCIÓN

Nota: La formula pa´ calcular el "#" de combinaciones es "2n" donde "n" es el numero de proposiciones.

▹Regla.- La disyunción de dos proposiciones es falsa (F) si las dos proposiciones componentes son falsas, en otro caso es verdadera (V).

Ejemplo:

La conjunción de las proposiciones

p: "3 es mayor que 2"

q: "3 divide a 6"

es p ^ q: "3 es mayor que 2 y divide a 6 "

a cual es V, ya que las proposiciones p y q son verdaderas 

DISYUNCIÓN 

▹Regla.- La disyunción de dos proposiciones es falsa (F) si las dos proposiciones componentes son falsas, en otro caso es verdadera (V). 

Ejemplo:

La disyunción de las proposiciones

p: " 15 es múltiplo de 5"

 q: " 15 es múltiplo de 2"

es p v q: " 15 es múltiplo de 5 o de 2"

 la cual es V, ya que p es V.

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

▹Regla.- La implicación de dos proposiciones es falsa (F), verdadero y el consecuente es falso, en otro caso es solamente cuando el antecedente verdadera (V).

Ejemplo:

Sean las proposiciones:

p: " Antonio viaja a Europa"

q: " Antonio perdió sus documentos"

entonces la proposición q→ p es:

" si Antonio perdió sus documentos entonces no viaja a Europa" 

DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL

▹Regla.- La bicondicional de dos proposiciones es verdadera (V) solamente cuando las dos proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es falsa (F).

Ejemplo:

Sean las proposiciones

p: "Esta ley será aprobada en esta sesión"

q: "Esta ley' es apoyada por la mayoría"

luego la proposición - p ↔q es:

" Esta ley no será aprobada en esta sección si y sólo si no es apoyada por la mayoría"

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Regla.- La disyunción exclusiva de dos proposiciones es falsa (F) cuando las dos proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otro caso es verdadera (V).

Ejemplo:

La proposición compuesta

" la capital de Bolivia es La Paz o Sucre" 

es la disyunción exclusiva de las proposiciones: 

p: " La capital de Bolivia es La Paz"

 q: " La capital de Bolivia es Sucre"

luego la proposición compuesta se simboliza p v g, pues se excluye la posibilidad de que se cumplan ambas proposiciones.

FÓMULAS PROPOSICIONALES

Una fórmula proposicional es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos que simboliza a una proposición compuesta o molecular.

Ejemplo:

[(p →q) ^ (~p v t)]↔q           ✔  

p q →t ~v p                           ❌

TABLA DE VALORES DE VERDAD

El valor de verdad de una fórmula proposicional depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Es decir. se debe analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que la componen las cuales se dan en las primeras columnas.

Nota.- si en una fórmula proposicional intervienen "n" proposiciones simples diferentes, entonces en la tabla de valores de verdad habrá 2n combinaciones diferentes. Así, para dos proposiciones se tiene 2^(2) = 4 posibles combinaciones de V y F Para tres, 2^(3) = 8 combinaciones, etc.

CLASIFICACIÓN DE FÓRMULAS PROPOSICIONALES 

Las fórmulas proposicionales (las proposiciones compuestas) se clasifican, según sus valores de verdad, en Tautología, Contradicción y Contingencia.

1) Tautología.- Es una fórmula proposicional que es verdadera para cualquier valor de verdad de las proposiciones que la componen.

2) Contradicción.- Es una fórmula proposicional que es falsa para cualquier valor de verdad de las proposiciones que la componen.

3) Contingencia.- Es una fórmula proposicional que no es tautología ni contradicción.

EQUIVALENCIA LÓGICA

Dos fórmulas proposicionales se dice que son lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas, o sus valores de verdad son los mismos en cada renglón. Usaremos el símbolo " = " para expresar la equivalencia entre dos fórmulas proporcionales.

Ejemplo:

 En primer lugar determinaremos los valores de verdad de las proposiciones simples. p y q.  Esto es, si ~(p ^ ~q) es F. entonces p^ ~q es V. Luego, según la regla de la conjunción, p y ~q son V, de donde q es F. Por tanto, los valores de verdad de las proposiciones p, q y r son respectivamente V, F, V. 

En consecuencia. el valor de verdad de la proposición dada es: 

[(~p ^ q) → ~r] ↔ ~(p △ ~q)

[{~V ^ F)→ ~V] ↔ ~(V △ ~F)

[(F ^ F) → F] ↔ ~(V △V)

[F → F] ↔ ~F

V ↔ V = V

ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Son operaciones lógicas que se realizan en una fórmula proposicional, aplicando adecuadamerrte ciertas reglas básicas llamadas leyes lógicas. Es decir, al igual que en álgebra básica donde la simplificación de expresiones algebraicas es muy importante, en lógica también existe la necesidad de sinrplificar fórmulas proposicionales complejas, a través de ciertas equivalencias llamadas leyes lógicas. que a continuación se listan.

 LEYES LOGICAS

 

SIMPLIFICACIÓN DE FORMULAS PROPOSICIONALES 

Se trata de trasformar una fórmula proposicional en otra equivalente a ella pero lo más reducida posible. Para lo cual se debe usar oportuna y correctamente las leyes lógicas. Así mismo, deben especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizados.

Ejemplo:

Ejemplo: 

CIRCUITO LÓGICOS 

Un circuito, con un interruptor, puede esta "abierto" o "cerrado". Cuando el interruptor está abierto no permite el paso de corriente, mientras que cuando está cerrado sí lo permite. Si asociamos una proposición a cada interruptor, intuitivamente, vemos que en el álgebra de circuitos la V de tal proposición indica el interruptor cerrado y F el interruptor abierto.

CIRCUITOS EN SERIE Y EN PARALELO 

Las operaciones proposicionales se pueden representar mediante circuitos lógicos con tantos interruptores como proposiciones que la componen, combinados en serie o en paralelo según el conectivo lógico que une las proposiciones.

CIRCUITO EN SERIE 

La conjunción de dos proposiciones (p ^ q) está representada por un circuito lógico en serie. 

CIRCUITO EN PARALELO 

La disyunción de dos proposiciones (p v q) está representada por un circuito lógico en paralelo. 

Ejemplo:

Ejemplo:

INFERENCIA LÓGICA

Se debe entender por inferencia lógica a un razonamiento en el que a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. Un razonamiento es válido sí, y solamente sí, la conjunción de las premisas implica la conclusión, o la conclusión es consecuencia de las premisas. Es decir, si las premisas son todas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente han de ser verdaderas. Sin embargo, si una o más de las premisas es falsa, la conjunción de todas las premisas es falsa; por tanto, la conclusión puede ser verdadera o falsa.

REGLAS DE INFERENCIA 

 Se le llaman reglas de inferencia a todo argumento universalmente correcto (o formas, correctas de razonamiento) que representan métodos generales de razonamiento válido. Las siguientes son formas correctas de razonamiento:

En las deducciones o demostraciones formales se deberá justificar cada paso de inferencia haciendo referencia a la regla particular de inferencia que permite aquel paso. Se indica esta regla poniendo la abreviatura de su nombre a la derecha del paso de inferencia. Es también necesario indicar los números de las líneas en la inferencia de las que se ha deducido cada paso.

Ejemplos:

Ejemplos:

FUNCIONES PROPOSICIONALES Y SU CUANTIFICACIÓN

FUNCIONES PROPOSICIONALES 

Una función proposicional en una variable X es toda expresión en la que X representa al sujeto u objeto perteneciente a cierto conjunto. La cual se convierte en proposición para cada especificación de X. Es decir, si P(X) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir la variable X por un objeto matemático, se dice que P es una función proposicional. Asimismo hay funciones proposicionales con más de una variable.

Ejemplo:

Si nos referimos a los números naturales y, sea la función proposicional P (X): "X es el divisor de 12", es claro que la expresión : "X es divisor de 12" no es una proposición ya que no podemos decir nada acerca de su verdad o falsedad mientras no se especifique a X. Sin embargo, para cada asignación dada al sujeto X dicha expresión es una proposición.

Es decir, son proposiciones:

P (2): " 2 es divisor de 12"     (V)

P (3): " 3 es divisor de 12"     (V)

 P (5): "5 es divisor de 12"     (F)

CUANTIFICADORES

A partir de funciones proposicionales se puede obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Para ello, introducimos los símbolos ∀ y ∃, llamados cuantificadores universal y existencial, respectivamente. Los cuales asociados a la variable x expresan lo siguiente:

∀x, para expresar "para todo x", o "cualquiera que sea x"

∃x, para expresar "existe algún x, tal que", o "existe al menos un x, tal que"

Si p(x) es siempre una proposición verdadera, para cualquiera que sea el objeto matemático que sustituye a x, entonces se podrá escribir: 

∀x: p(x), se lee "para todo x, se verifica p(x)"

Si p(x) es alguna vez una proposición verdadera, al sustituir x por al menos un cierto objeto matemático, entonces se podrá escribir:

∃x/  p (x), se lee "existe algún x, tal que se verifica p(x)"

La negación de estas funciones proposicionales cuantificadas, para cada caso, son:

(∀ x: p(x)) ≡ ∃ x/ ~p (x)

~(∃ x/ p(x)) ≡ ∀ x : ~p (x)

Ejemplo:

Ejemplo:

SI TÚ NO PELEAS TUS BATALLAS NADIE LO HARA POR TI.

 

CAPITULO 2: CONJUNTOS

En el lenguaje corriente, empleamos el vocablo conjunto para referirnos a una pluralidad o colectividad de objetos que se consideran agrupados formando un todo. Por ejemplo, conjunto de alumnos de una clase; conjunto de letras del abecedario; conjunto de escritores nacionales, etc.

De esta noción de pluralidad contrapuesta a la de singularidad ha surgido el concepto matemático de conjunto. Los ejemplos recién mencionados bastan por ahora para tener una idea de dicho concepto. Lo esencial de dichas situaciones es la presencia de elementos o miembros del conjunto, los mismos se les denota usualmente por letras minúsculas como a, b, c,..., y los conjuntos se denotan por lo común mediante letras mayúsculas como A, B, C, ….

Otros símbolos de uso frecuente son:

"/ " para expresar "tal que" 

" ∈ " para expresar que un elemento pertenece a un conjunto.

"< " para expresar "menor que"

" >" para expresar "mayor que"

Para simbolizar que "x pertenece a A" se escribirá x ∈ A, y la negación de ésta se escribirá x ∈ A. 

Ejemplo:

NOTACIÓN DE CONJANTOS NUMÉRICOS

Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes:

DETERMINACION DE UN CONJANTO

Un conjunto puede ser determinado de dos maneras: por extensión y por comprensión

POR EXTENCIÓN.- Se dice que un conjunto está determinado por extensión sí y solo sí se nombran todos los elementos que lo constituyen. En este caso se escriben sus elementos entre dos llaves. 

Ejemplo:                                      El conjunto A={2,4,6, 8, l0}

está escrito por extensión, ya que se pueden enumerar uno a uno todos los elementos del conjunto. 

POR COMPRENCIÓN.- Se dice _que un conjunto está determinado por comprensión sí y solo si se da la propiedad o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:                                       El conjunto  B = { x ∈ N /x < 5 }

Los números naturales menores a 5 son: 1,2,3 y 4, por tanto, la determinación por extensión es:            B ={ 1, 2,3, 4}

CONJUNTOS ESPECIALES 

Llamaremos conjuntos especiales a aquellos conjuntos que se caracterizan por el número de elementos, entre ellos tenemos: conjunto unitario, conjunto vacío. conjunto universal.

 CONJUNTO UNITARIO

Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento:

Ejemplo:                           Los conjunto    A={ x / x^(2)= 0}

                                                                   B={x∈ N / x^(2) = 4}

                                          son unitarios por tener un sólo elemento.

                                         Estos son: A={0} ; B={2}

 CONJUNTO VACIO

El conjunto nulo o vacío es aquél conjunto que carece de elementos, y se denota por ∅

Es decir, ∅ ={ }

Ejemplo:                           Los conjuntos 

                                          A={x∈ Z /x^(2)=-l}

                                          B:{x∈ N/ x<0}

Son conjuntos vacíos, por no existir valores de x que satisfagan las condiciones de cada conjunto. 

CONJANTO UNIVERSAL

El conjunto universal, llamado también universo o referencial, es un conjunto de cuyos elementos se escogen algunos de ellos para formar otros conjuntos. Se denota por U.

Ejemplo: 

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

A= {3,5,1}

B={2,6,4}

RELAC IONES ENTRE CONJUNTOS

Se sabe que el símbolo  (pertenencia) se utiliza para relacionar un elemento con un conjunto. Asimismo, se puede relacionar dos conjuntos definidos en un mismo universo. Los cuales se definen a continuación.  

INCLUSIÓN DE CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos definidos en un mismo universo. Se dice que A está incluido en B, o que A es un subconjunto de B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B; se denota por      A ⊂ B, que se lee "A está incluido en B" o bien "B incluye a A" o bien "A es subconjunto de B"

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si A c B y B c A. Es decir, si ambos conjuntos están formados por los mismos elementos.

En símbolos:                                 A=B ↔A ⊂ B ^ B ⊂ A

CONJUNTO DE PARTES

Dado un conjunto A, se entiende por conjunto de partes de A al conjunto formado por todos los subconjuntos de A, y se denota por P(A).

En símbolos:                                 P (A) = {X /X ⊂ A }  

O bien:                                          X ∈ P(A)↔X ⊂ A  

Es decir, si se consideran todos los subconjuntos de A, ellos dan origen a un nuevo conjunto, que se llama conjunto de partes de A. El número de elementos del conjunto partes de A es 2', en donde n es el número de elementos de A.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

En esta sección se analizarán varias operaciones que combinan dos o más conjuntos mediante reglas bien definidas para formar nuevos conjuntos. A esta combinación de conjuntos se le llaman operaciones entre los mismos, y son: unión, intersección, complementación, diferencia, diferencia simétrica y combinaciones de las mismas.

UNIÓN DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama unión de A y B, al conjunto formado, por todos los elementos de A o de B. Se denota por A U B.

En símbolos:     AUB = { x/x ∈ A v x ∈ B}

Es decir:            x ∈ (AUB)↔x e A v x ∈ B

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Dado los conjuntos A y B, la intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que son comunes a los dos conjuntos dados, es decir que pertenecen a A y a B. Se denota por A⋂B.

En símbolos:      A⋂B= {x/x ∈ A ^ x ∈ B}

O bien:               x ∈ (A∩B)↔x ∈ A ^ x ∈ B

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto definido en un universo U, el complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A. Se denota por: A^(c).

En símbolos:       A^(c)= { x ∈ U /x ∉ A}

                            A^(c)={x/x ∉ A}

O bien:                x ∈ A^(c)↔x ∉ A

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia de conjuntos A - B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.

En símbolos:     A-B={x/x ∈ A ^ x ∉ B} 

O bien:             x ∈ (A-B)↔ x ∈ A^ x ∉ B 

Luego se verifica que:         A-B= A ∩B^(c)

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, cualesquiera de un universo U, la diferencia simétrica entre estos conjuntos es un conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, pero no a ambos. También se puede definir como la unión de los conjuntos A-B y B-A. Se denota por A ∆ B. 

En símbolos:      A ∆ B=(A-B)U(B-A)

O bien:               A ∆ B=(AUB)- (A∩B)

LEYES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS

Para referencia posterior, damos aquí una lista de las leyes más importantes que rigen las operaciones con conjuntos.

Ejemplo:

 Ejemplo:

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Sea A un conjunto finito definido en un conjunto universal U. Se llama "cardinal de A" al número de elementos de A y se denota por ɳ(A).

Ejemplo:                               Sean los conjuntos  A = { a, b, c, d, e}  

                                                                              B= {0, l,2, {0,1}, {1,2},∅}

                                                                              C={}= ∅

                                              Entonces el cardinal de cada conjunto es: 

                                                 ɳ(A) = 5, pues consta de cinco elementos 

                                                 ɳ(B) = 6, pues consta de seis elementos

                                                 ɳ(C) = ɳ(∅) = 0, pues carece de elementos

PROPIEDADES

Sean A, B, C tres conjuntos dados, entonces:   

l) ɳ(A-B)= ɳ(A) - ɳ(A∩B) 

2) ɳ(A∆B)= ɳ(AUB) - ɳ(A∩B)

3) ɳ(AUB)= ɳ(A) + ɳ(B) - ɳ(A∩B) 

4) ɳ(AUBUC)= ɳ(A) + ɳ(B) +ɳ(C)- ɳ(A∩B)-ɳ (A∩C))-ɳ(B∩C) + ɳ(A∩B∩C)

PRODUCTO CARTESIANO

Producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados (x, y) tal que la primera componente x pertenece a A y la segunda y a B. Se denota por AxB.

En símbolos:      AxB={(x, y)/x ∈ A ^ y ∈ B}

O bien:               (x, y) ∈ AxB ↔ x ∈ A ^ y ∈ B

Si B=A, entonces   AxA=A^(2)={(x, y)/x ∈ A ^ y ∈ A}

Ejemplo:

Ejemplo:

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

Una partición de un conjunto A no vacío es una colección de los subconjuntos no vacíos Al, A2,..., de A tales que: 

l) A¡∩A¡= ∅ si i ≠ j 

2) A1UA2U....=A

A los subconjuntos A¡ se les llama celdas o bloques de la partición. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra una partición de un conjunto A en cinco bloques.

Ejemplo:

"DONDE NO HAY FE EN DIOS Y EN UNO MISMO NO HAY UNA RARÓN PARA VIVIR, MUCHO PEOR DISCIPLINA, PERSISTENCIA Y ESFUERZO" 

-AP. MARCELO SALAS MARCHETTI

 

CAPITULO 3: RELACIONES 

En la matemática, como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relaciones entre dos objetos: en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. Por esto, es necesario formular la noción general de relaciones entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una regla, fórmula o propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto A de las materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los créditos de las materias sin laboratorio, es decir:

A: {a, b, c, d, e} y B: {4, 5,6,7}

Es claro que los elementos de A quedan asociados con los del conjunto B mediante la propiedad.

P(x, y) : "x tiene crédito y"

Es decir, una relación R consiste en todos los pares ordenados (x, y) A x B tales que x tiene crédito.

Nótese, que la materia d no tiene ningún correspondiente en B, consideramos que la materia tiene laboratorio y su crédito es mayor a los citados en B.

Nótese también que la relación establecida es sencillamente un subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir, R ⊂ A x B.

En este caso R es una relación que no se puede describir mediante una regla, fórmula o propiedad. pues se trata simplemente de un subconjunto de AxB elegido arbitrariamente.

Por tanto. una relación o correspondencia entre dos elementos pertenecientes, respectivamente. a dos conjuntos dados, A y B. se puede definir como sigue: 

DEFINICIÓN

Sean A y B dos conjuntos. Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. Es decir:

R es una relación de A en B ↔ R ⊂ A x B.

Se dice que "x está relacionado con y por R" y se escribe x R y sí (x, y) ∈ R

Si (x, y) ∉ R, si puede escribir x R , y se lee "x no está relacionado con y por R".

Ejemplo:

DOMINIO,IMAGEN,RELACIÓN INVERSA

Si R ⊂ AxB es una relación de A en B. existen dos importantes conjuntos asociados a esta relación: dominio e imagen de R. A continuación se darán las definiciones de estos conjuntos y de la relación inversa. 

DOMINIO DE R

El dominio de R. que se escribe D(R), es el conjunto de elementos en A que están relacionados con algún elemento en B. En otras palabras. el D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares (x. y) e R. Es decir:

D(R)={x ∈ A/(x, y)∈ R}

IMAGEN DE R

El Imagen (rango o recorrido) de R, que se escribe I(R). es el conjunto de elementos en B que son los segundos elementos de los pares (x. y) c R. esto es. todos los elementos en B que están relacionados con algún elemento en A. Es decir:

I(R): {y ∈ B/(x, y) ∈ R} 

RELACIÓN INVERSA

La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en B es la relación R-l de B en A que se define como:

                        R-1 = {(y, x) / (x, y) ∈ R}

O bien:            (y, x) ∈ R-1 ⇔ (x, y) ∈ R

"LA PERSONA EXIROSA CONVIERTE EN UN HÁBITO LO QUE A LA PERSONA QUE FRACASA NO LE GUSTA HACER"

-THOMAS EDISON 

CAPITULO 4: FUNCIONES 

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, que se escribe: ʄ de A en B, que se lee  "ʄ es una función o aplicación de A en B", es un subconjunto de AxB tal que todo x ∈ A está relacionado a un solo elemento y ∈ B. Es decir, en una función no se tienen dos pares ordenados distintos con la misma primera componente. Así, pues, toda función ʄ es una relación especial de A en B.

Dado un par (x, y) ∈ ʄ se escribe y = ʄ(x) y se dice que y es la imagen de x por ʄ, o que y es el valor de ʄ en x, o bien que ʄ transforma x en y. 

DEFINICIÓN

ʄ es una función o aplicación de A en B sí y sólo si  ʄ es una relación entre A y B, que satisface las siguientes condiciones:

i)  ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B / (x, y) ∈ ʄ

ii)  (x, y) ∈ ʄ ^ (x, z) ∈ ʄ ⇒ y=z

DEFINICION

Para la función ʄ : A → B, A es el dominio de ʄ y B es el condominio de ʄ. El subconjunto de B formado por los elementos imágenes de todos los miembros de A, se llama "imagen de ʄ" , y se denota por I (ʄ). 

Ejemplo:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Sean ʄ : A → B y g : B → C dos funciones tales que el condominio de ʄ coincide con el dominio de g (o bien I(ʄ) = D(g)) : puede entonces definirse una nueva función g ○ ʄ de A en C llamada función compuesta de ʄ y g, como se ilustra en el siguiente diagrama:

DEFINICIÓN

La composición de las funciones ʄ : A → B y g: A → B es la función 

 g ∘ f :A→B definida por

(g ∘ f) (x) = g (f(x) ) Para todo x ∈ A

Dadas las funciones ʄ: A→ B, g: B → C. h: C → D. se cumple la asociatividad de la composición.

h ∘ (g ∘ f)= (h ∘ g) ∘ f

donde la igualdad significa que ambos miembros representan la misma función de A en D.

Por otra parte. la composición de funciones no es conmutativa, es decir

g ∘ f ≠f ∘ g

Ejemplo:

LA BIBLIA SUPERA EL DESAGRAVIO, LA BIBLIA NO TE HACE RELIGIOSO, TE HACE MÁS SABIO, TE ALERTA DEL DESVARÍO Y DEL ADVERSARIO, TE ENSEÑA LO MEJOR Y REALMENTE NECESARIO. 

-RUBINSKY RBK

HG